EPFL – Analyse – BA1

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Ce cours a été conçu pour te guider pas à pas à travers tous les grands chapitres de l’analyse mathématique, avec des explications claires, des exemples concrets et des exercices corrigés. Que tu sois en licence, en prépa ou en école d’ingénieur, ce programme va t’aider à bâtir des fondations solides et à gagner en confiance.

 Structure du cours :

🔹 Les sous-ensembles
Apprends à maîtriser les ensembles classiques ($\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$) et les relations d’inclusion, d’intersection, d’union. Une base indispensable pour bien poser les raisonnements.

🔹 Ensembles et démonstrations
Découvre les techniques rigoureuses de démonstration (contraposée, par l’absurde, par récurrence) et les raisonnements logiques fondamentaux de l’analyse.

🔹 Fonctions
Définition, variations, parité, périodicité, compositions et opérations : tout ce qu’il faut pour savoir manipuler les fonctions comme un pro.

🔹 Dérivation
Dérivées usuelles, règles de calcul, interprétation géométrique, théorèmes fondamentaux (Rolle, accroissements finis) et applications à l’étude de fonctions.

🔹 Développements limités
Tu apprendras à approcher des fonctions par des polynômes en un point, avec Taylor et Maclaurin, pour mieux comprendre leur comportement local.

🔹 Les nombres complexes
Plonge dans l’univers fascinant des nombres complexes, leur écriture algébrique et trigonométrique, le module, l’argument, les racines n-ièmes, et les applications géométriques.

🔹 Les suites
Étudie la convergence, les limites, les suites arithmétiques/géométriques, les théorèmes classiques (monotonie, encadrement, Bolzano-Weierstrass…).

🔹 Les séries
De la série géométrique à la série de Taylor : apprends à tester la convergence et à manipuler les séries numériques de façon rigoureuse et intuitive.

🔹 Intégrales
Comprends l’intégrale comme aire sous une courbe, découvre les techniques de calcul, les intégrales généralisées, et les grands théorèmes (changement de variable, intégration par parties…).

🚀 Objectif du cours :

Comprendre profondément les notions, savoir les utiliser efficacement, et réussir tes évaluations avec sérénité.

Chaque notion est expliquée avec pédagogie, illustrée par des exemples visuels, et consolidée par des exercices et des corrigés détaillés.