Exercice 7 : Matrices de changement de base et coordonnées

1. I. Objectifs

Cet exercice a pour but de :
• Calculer la matrice de changement de base entre deux bases
• Inverser un changement de base

2. II. Énoncé

Soient [latex]B = (b_1, b_2)[/latex] et [latex]C = (c_1, c_2)[/latex] deux bases d’un espace vectoriel [latex]V[/latex].

On suppose que : [latex]b_1 = 6c_1 – 2c_2[/latex] et [latex]b_2 = 9c_1 – 4c_2[/latex]

(a) Calculer la matrice de changement de base [latex]P_{BC}[/latex] de [latex]B[/latex] vers [latex]C[/latex].

(b) Trouver [latex][x]_C[/latex] pour [latex]x = -3b_1 + 2b_2[/latex] en utilisant le résultat obtenu en (a).

Soient [latex]A = (\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2})[/latex] et [latex]D = (\overrightarrow{d_1}, \overrightarrow{d_2})[/latex] les bases de [latex]\mathbb{R}^2[/latex] définies par :

[latex]\overrightarrow{a_1} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{a_2} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix},[/latex] [latex]\overrightarrow{d_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{d_2} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}[/latex]

(d) Calculer la matrice de changement de base [latex]P_{AD}[/latex] de [latex]D[/latex] vers [latex]A[/latex].

Astuces

• Pour calculer une matrice de changement de base, exprimez les vecteurs de la base de départ dans la base d’arrivée.
• L’inversion d’une matrice permet de passer de la matrice de changement de base dans un sens à l’autre sens.
• Multipliez la matrice de changement de base par les coordonnées dans la base de départ pour obtenir les coordonnées dans la base d’arrivée.

Résultat attendu

(a) [latex] \text{PCB} = \begin{pmatrix} 6 & 9 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} [/latex]

(b) [latex] [x]_C = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} [/latex]

(d) [latex] \text{PAD} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} [/latex]

Correction détaillée

(a) Calcul de la matrice PCB : La matrice de changement de base [latex]\text{PCB}[/latex] s’obtient en écrivant les vecteurs de la base [latex]B[/latex] dans la base [latex]C[/latex]. D’après l’énoncé : [latex]\vec{b_1} = 6\vec{c_1} – 2\vec{c_2}[/latex] et [latex]\vec{b_2} = 9\vec{c_1} – 4\vec{c_2}[/latex].

Ainsi, [latex] \text{PCB} = \begin{pmatrix} 6 & 9 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} [/latex]

(b) Calcul des coordonnées [latex][x]_C[/latex] : L’équation [latex]\vec{x} = -3\vec{b_1} + 2\vec{b_2}[/latex] donne les coordonnées de [latex]\vec{x}[/latex] dans la base [latex]B[/latex] :

[latex][x]_B = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}[/latex]

Pour trouver [latex][x]_C[/latex], on multiplie par la matrice de changement de base : [latex][x]_C = \text{PCB} [x]_B = \begin{pmatrix} 6 & 9 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix}[/latex]

(c) Calcul de [latex]\text{PDA}[/latex] : Pour trouver [latex]\text{PDA}[/latex], on exprime [latex]\vec{a_1}[/latex] et [latex]\vec{a_2}[/latex] dans la base [latex]D[/latex].

On résout les systèmes : [latex] \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}
[/latex] et [latex] \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}
[/latex]

On trouve : [latex] x_1 = -3, x_2 = -5, y_1 = 1, y_2 = 2 [/latex]

D’où : [latex] \text{PDA} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} [/latex]

(d) Calcul de [latex]\text{PAD}[/latex] :

On inverse la matrice [latex]\text{PDA}[/latex] : [latex]\text{PAD} = \text{PDA}^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}[/latex]

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