Exercice 4 : Diagonalisation d’une matrice en base orthonormée

• Pour trouver les valeurs propres, utilisez le polynôme caractéristique : [latex]\det(A – \lambda I) = 0[/latex].
• Les valeurs propres peuvent être validées en utilisant la trace ([latex]\operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i[/latex]) et le déterminant ([latex]\det(A) = \prod \lambda_i[/latex]).
• Trouvez les vecteurs propres en résolvant [latex](A – \lambda I)x = 0[/latex] pour chaque valeur propre [latex]\lambda[/latex].
• Normalisez les vecteurs propres avec le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir une base orthonormée.

La matrice [latex]A[/latex] est diagonalisable avec : [latex]D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix},[/latex] [latex]P = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.[/latex]

Étape 1 : Calcul des valeurs propres

On cherche d’abord les valeurs propres de [latex]A[/latex].

Méthode 1 : Polynôme caractéristique
On calcule [latex]\det(A – \lambda I)[/latex] :
[latex]c_A(t) = (t – 6)(t – 2)^3,[/latex] ce qui donne les valeurs propres [latex]\lambda \in \{6, 2\}[/latex].

Méthode 2 : Observation directe
On note que la somme de chaque ligne vaut 6, ce qui donne immédiatement [latex]\lambda = 6[/latex] comme valeur propre. En utilisant la trace de [latex]A[/latex] et le produit des valeurs propres, on obtient aussi [latex]\lambda = 2[/latex] avec multiplicité 3.

Étape 2 : Calcul des espaces propres

• Pour [latex]\lambda = 6[/latex] :

On trouve un vecteur propre associé, normalisé pour obtenir : [latex]E_6 = \operatorname{Vect} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}.[/latex]

• Pour [latex]\lambda = 2[/latex] :

On trouve les vecteurs propres associés à [latex]\lambda = 2[/latex] : [latex]E_2 = \operatorname{Vect} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}.[/latex]

On applique ensuite le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir une base orthonormée : [latex]E_2 = \operatorname{Vect} \left\{ \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{6}}{6} \\ \frac{\sqrt{6}}{6} \\ -\frac{\sqrt{6}}{3} \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{6} \\ \frac{\sqrt{3}}{6} \\ \frac{\sqrt{3}}{6} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \right\}.[/latex]

Étape 3 : Matrice de passage et diagonalisation

La matrice de changement de base [latex]P[/latex] est donnée par les vecteurs propres orthonormés, donc : [latex]P = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.[/latex]

La matrice inverse de [latex]P[/latex] est sa transposée ([latex]P^T[/latex]), et la formule de diagonalisation donne : [latex]D = P^T A P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.[/latex]