Exercice 2 : Décomposition en valeurs singulières (SVD)

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Pour les matrices [latex]A[/latex], [latex]B[/latex], et [latex]C[/latex], les décompositions en valeurs singulières sont :

a) [latex]A = U \Sigma V^T[/latex] avec : [latex]U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \Sigma = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad V = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.[/latex]

b) [latex]B = U \Sigma V^T[/latex] avec : [latex]U = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{45}} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{4}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{3} & 0 & \frac{5}{\sqrt{45}} \end{pmatrix}, \quad \Sigma = \begin{pmatrix} \frac{3}{\sqrt{10}} & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad V = \begin{pmatrix} -\frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{10}} \end{pmatrix}.[/latex]

c) [latex]C = U \Sigma V^T[/latex] avec : [latex]U = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}, \quad \Sigma = \begin{pmatrix} \sqrt{6} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad V = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.[/latex]

a) Calcul de la SVD pour [latex]A[/latex] : La matrice [latex]A^T A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex] a les valeurs propres [latex]\lambda_1 = 4[/latex], [latex]\lambda_2 = 0[/latex]. Les valeurs singulières de [latex]A[/latex] sont [latex]\sigma_1 = 2[/latex], [latex]\sigma_2 = 0[/latex]. Les vecteurs propres associés sont [latex]v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/latex], [latex]v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/latex].

On obtient : [latex]U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \Sigma = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad V = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.[/latex]

b) Calcul de la SVD pour [latex]B[/latex] : On calcule [latex]B^T B = \begin{pmatrix} 81 & -27 \\ -27 & 9 \end{pmatrix}[/latex], qui a les valeurs propres [latex]\lambda_1 = 90[/latex], [latex]\lambda_2 = 0[/latex]. Les vecteurs propres normalisés associés sont : [latex]v_1 = \begin{pmatrix} -\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}} \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} \\ \frac{3}{\sqrt{10}} \end{pmatrix}.[/latex]

On obtient : [latex]V[/latex] et [latex]\Sigma[/latex] comme dans les résultats attendus. Pour [latex]U[/latex], on calcule les vecteurs [latex]Bv_1[/latex] et [latex]Bv_2[/latex] pour compléter la base.

c) Calcul de la SVD pour [latex]C[/latex] : On calcule [latex]C^T C = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}[/latex], qui a les valeurs propres [latex]\lambda_1 = 6[/latex], [latex]\lambda_2 = 2[/latex]. Les vecteurs propres associés sont [latex]v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/latex], [latex]v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/latex].

Pour [latex]U[/latex], on calcule les vecteurs [latex]Cv_1[/latex], [latex]Cv_2[/latex], et on complète avec un troisième vecteur orthogonal via Gram-Schmidt.